lunes, 30 de abril de 2018
1.2.4 Equivalencias Lógicas más Comunes
Al igual que en la implicación lógica, veamos una tabla con las equivalencias lógicas más útiles junto con los nombres que reciben.
Idempotencia de la conjunción y la disyunción.
Al igual que en la implicación lógica, veamos una tabla con las equivalencias lógicas más útiles junto con los nombres que reciben.
Idempotencia de la conjunción y la disyunción.
(P ∧P) ⇐⇒ P
(P ∨P) ⇐⇒ P
Conmutatividad de la conjunción y la disyunción.
(P ∧Q) ⇐⇒ (Q∧P)
(P ∨Q) ⇐⇒ (Q∨P)
Asociatividad de la conjuncion y la disyunción
[(P ∧Q) ∧R] ⇐⇒ [P ∧ (Q∧R)]
[(P ∨Q) ∨R] ⇐⇒ [P ∨ (Q∨R)]
Distributividad de ∧ respecto de ∨ y de ∨ respecto de ∧.
[P ∧ (Q∨R)] ⇐⇒ [(P ∧Q) ∨ (P ∧R)]
[P ∨ (Q∧R)] ⇐⇒ [(P ∨Q) ∧ (P ∨R)]
Leyes de De Morgan.
¬ (P ∨Q) ⇐⇒ (¬P ∧Q)
¬ (P ∧Q) ⇐⇒ (¬P ∨Q)
Leyes de dominación.
P ∨T ⇐⇒ T
P ∧C ⇐⇒ C
Leyes de identidad.
P ∧T ⇐⇒ P
P ∨C ⇐⇒ P
Doble negación.
¬¬P ⇐⇒ P
Implicación.
(P - → Q) ⇐⇒ (¬P ∨Q)
Exportación.
[P - → (Q - → R)] ⇐⇒ [(P ∧Q) - → R]
Contrarrecíproca.
(P - → Q) ⇐⇒ (¬Q - → ¬P)
Reducción al Absurdo.
(P - → Q) ⇐⇒ [(P ∧¬Q) - → C]
1.2.3 Proposición bicondicional
Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “p si y so´lo si q” se le llama “proposición bicondicional” y se nota por p ←→ q La interpretación del enunciado es:
Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “p si y so´lo si q” se le llama “proposición bicondicional” y se nota por p ←→ q La interpretación del enunciado es:
“p si y so´lo si q”
se le llama “proposición bicondicional” y se nota por
p ← → q
La interpretaci´on del enunciado es:
p s´olo si q y p si q
o lo que es igual
si p, entonces q y si q, entonces p
es decir,
(p - → q) ∧ (q - → p)
Por tanto, su tabla de verdad es:
1.2.2 Proposición Condicional
Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “si p, entonces q” se le llama “proposición condicional” y se nota por
p - → q
A la proposición “p” se le llama hipo´tesis, antecedente, premisa o condición suficiente y a la “q” tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria del condicional.
Una proposición condicional es falsa únicamente cuando siendo verdad la hipo´tesis, la conclusión es falsa (no se debe deducir una conclusión falsa de una hipo´tesis verdadera).
De acuerdo con esta definici´on su tabla de verdad es,
Observese que si p −→ q es verdad no puede deducirse prácticamente nada sobre los valores de verdad de p y q ya que pueden ser ambas verdad, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora bien, si el condicional p −→ q es falso, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa.
1.2 Negación
Dada una proposición cualquiera, p, llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos ¬p. Sera´ verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.
La tabla de verdad de esta nueva proposici´on, ¬p, es:
Dada una proposición cualquiera, p, llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos ¬p. Sera´ verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.
La tabla de verdad de esta nueva proposici´on, ¬p, es:
1.2.1 Tautologías y Contradicciones
Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p1,p2,...,pn
P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p1,p2,...,pn.
P es una Contradiccion si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p1,p2,...,pn.
En adelante, notaremos por “C” a una contradiccion y por “T” a una tautologıa.
Una proposición P que no es tautologıa ni contradiccion se llama, usualmente, Contingencia.
Ejemplo: Probar que la proposición compuesta p∨¬p es una tautología y la p∧¬p es una contradicción.
Solución
En efecto:
1.1.5 Disyunción
Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p o´ q” y la notaremos p∨q. Esta proposición sera´ verdadera si al menos una de las dos p o´ q lo es. De acuerdo con la definición dada se sigue que si una de las dos, p ´o q, es verdad entonces p∨q es verdad y que p∨q ser´a falsa, únicamente si ambas lo son.
Su tabla de verdad ser´a, por tanto,
Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p o´ q” y la notaremos p∨q. Esta proposición sera´ verdadera si al menos una de las dos p o´ q lo es. De acuerdo con la definición dada se sigue que si una de las dos, p ´o q, es verdad entonces p∨q es verdad y que p∨q ser´a falsa, únicamente si ambas lo son.
Su tabla de verdad ser´a, por tanto,
Haciendo el razonamiento contrario si pYq es verdad, únicamente podemos asegurar que una de las dos es verdad y si pYq es falsa, solo podemos deducir que ambas tienen el mismo valor de verdad.
Nota 1.3 Salvo que especifiquemos lo contrario, “o” ser´a usado en el primero de los sentidos.
Esta discusión pone de manifiesto la precisión que ganamos con el lenguaje simbólico: p∨q está definida por su tabla de verdad y siempre significa p y/´o q.
1.1.4 Conexión entre Proposiciones
Estudiamos en este apartado las distintas formas de conectar proposiciones entre sí. Prestaremos especial atención a las tablas de verdad de las proposiciones compuestas que pueden formarse utilizando las distintas conexiones.
1.5 Conjunción
Dadas las dos proposiciones cuando se trata de pyq, llamaremos conjunción de ambas a la propuesta de la "pyq" y la notaremos p∧q. Esta proposición será 'únicamente en caso de que ambas proposiciones sean.
Observen que la palabra dada se sigue directamente que si pyq son, entonces, verdaderas entonces p∧q es la verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p∧q es falsa.
Por lo tanto, su tabla de verdad vendrá dada por
Estudiamos en este apartado las distintas formas de conectar proposiciones entre sí. Prestaremos especial atención a las tablas de verdad de las proposiciones compuestas que pueden formarse utilizando las distintas conexiones.
1.5 Conjunción
Dadas las dos proposiciones cuando se trata de pyq, llamaremos conjunción de ambas a la propuesta de la "pyq" y la notaremos p∧q. Esta proposición será 'únicamente en caso de que ambas proposiciones sean.
Observen que la palabra dada se sigue directamente que si pyq son, entonces, verdaderas entonces p∧q es la verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p∧q es falsa.
Por lo tanto, su tabla de verdad vendrá dada por
Observese también que el razonamiento puede hacerse a la inversa, es decir si p∧q es verdad, entonces p y q son, ambas, verdad y que si p∧q es falsa, entonces una de las dos ha de ser falsa
1.1.3 Tablas de Verdad
La tabla de verdad de una propuesta compuesta de todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, ..., pn.
Ejemplo. Por ejemplo, si P es una propuesta compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y p3, entonces la tabla de verdad de P podría ser una selección de los siguientes valores de verdad.
1.1.5 Tablas de Verdad
La tabla de verdad de una propuesta compuesta de todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, ..., pn. Ejemplo 1.5 Por ejemplo, si P es una propuesta compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y p3, entonces la tabla de verdad de P podría ser una selección de los siguientes valores de verdad.
La tabla de verdad de una propuesta compuesta de todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, ..., pn.
Ejemplo. Por ejemplo, si P es una propuesta compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y p3, entonces la tabla de verdad de P podría ser una selección de los siguientes valores de verdad.
1.1.5 Tablas de Verdad
La tabla de verdad de una propuesta compuesta de todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, ..., pn. Ejemplo 1.5 Por ejemplo, si P es una propuesta compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y p3, entonces la tabla de verdad de P podría ser una selección de los siguientes valores de verdad.
p1 p2 p3
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
1.1.2 Valor de Verdad
Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso.
Ejemplo: Dígase cuales de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de verdad de aquellas que lo sean.
(a) p: Existe Premio Nobel de informática.
(b) q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.
(c) r: Teclee Escape para salir de la aplicación.
(d) s: Cinco más siete es grande.
Solución
(a) p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso.
(b) No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa.
(c) r no es una proposición ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato.
(d) s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco nin˜as más siete niños es un número grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas de cinco cinco céntimos más siete monedas de un céntimo no constituyen una cantidad de dinero grande.
lunes, 23 de abril de 2018
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